Задачи, головоломки, загадки

Небольшая поправка - площадь треугольника равна произведению сторон умноженному на синус угла между ними и деленное на два.

итого получаем площади достроенных треугольников:

S1 = a*2b*sin(180-α)/2 = a*b*sin(α) = Sисх.треугольника
S2 = 2a*c*sin(180-β)/2 = a*c*sin(β) = Sисх.треугольника
S3 = 2c*b*sin(180-γ)/2 = c*b*sin(γ) = Sисх.треугольника
Добавим площадь исходного треугольника и получим
3S + S = 4S
Черт меня побери!
Как же я упустил, что исходный треугольник в два раза меньше примыкающего к одной из сторон достроенного треугольника?
У @valdo чуть выше правильный ответ, новый треугольник в семь раз больше исходного.
Посыпаю голову пеплом!
 

valdo

 
Везде пишут, что коронавирус распространяется экспоненциально.
И действительно, если предположить, что инфицированный в сутки заражает K здоровых, то через N суток будем иметь больных в К^N больше начального количества. Однако в популяции имеется ограниченное число народу (Обзовем это число P). Значит по мере роста числа зараженных будет уменьшаться и число здоровых, а значит будет уменьшаться и вероятность заразить здорового для отдельно взятого больного. Т.е. К будет уменьшаться. Отсюда задача:

А) По какой функции реально будет расти число инфицированных при условии равномерного смешивания больных и здоровых.
Б) По какой функции будет изменяться число больных, если предположить что больной через 14 дней выздоравливает и приобретает иммунитет.
В) Тот же вопрос что и в Б) но если иммунитет не приобретается.
Вопрос: надо дать точную формулу на все пункты? Или достаточно качественно описать что происходит?
Я могу дать (почти) точную функцию на (A). Для Б,В - могу дать точную функцию если предположить что больные в среднем выздоравливают за 14 дней, т.е. для набора больных через 1 день их остаётся 13/14 от общего кол-ва.
 
Вопрос: надо дать точную формулу на все пункты? Или достаточно качественно описать что происходит?
Я могу дать (почти) точную функцию на (A). Для Б,В - могу дать точную функцию если предположить что больные в среднем выздоравливают за 14 дней, т.е. для набора больных через 1 день их остаётся 13/14 от общего кол-ва.
@valdo, давай для начала качественно. Ну или если это поможет то давай для определенности так:
Будем работать в рамках SIR модели.
Пусть
S(t) - susceptible, [0, 1] - часть населения которая может заразиться. Пусть в начале это значение равно 0.999
I(t) - infected, [0, 1] - часть населения которая в текущий момент заражена. Пусть в начале это значение равно 0.001
R(t) - recovered, [0, 1] - часть населения которая уже переболела или умерла. Пусть в начале это значение будет 0.000

Я хочу увидеть как функции SIR зависят от времени. В качестве параметров возьмем:
Tr - transmission rate. Пусть для определенности будет равно 3 (но это должно быть параметром).
Rr - recovery rate. Пусть для определенности будет 0.071. (Т.е. 14 дней в среднем на выздоровление/смерть).
 
Последнее редактирование:

valdo

 
@valdo, давай для начала качественно. Ну или если это поможет то давай для определенности так:
Будем работать в рамках SIR модели.
Пусть
S(t) - susceptible, [0, 1] - часть населения которая может заразиться. Пусть в начале это значение равно 0.999
I(t) - infected, [0, 1] - часть населения которая в текущий момент заражена. Пусть в начале это значение равно 0.001
R(t) - recovered, [0, 1] - часть населения которая уже переболела или умерла. Пусть в начале это значение будет 0.000

Я хочу увидеть как функции SIR зависят от времени. В качестве параметров возьмем:
Tr - transmission rate. Пусть для определенности будет равно 3 (но это должно быть параметром).
Rr - recovery rate. Пусть для определенности будет 0.071. (Т.е. 14 дней в среднем на выздоровление/смерть).
Хорошо.

(А).
Если пренебречь тем что здоровые люди заканчиваются, и считать что каждый заражает какое-то кол-во новых людей в единицу времени, то это описывается через диф.уравнение:
dI/dt = I * const
и решение этого уравнения:
I(t) = I(0) * exp(t * const)

свободный параметр "const" подбирается так чтобы соответствовать условию задачи где каждый заражает K новых людей в день.
Таким образом:
I(t) = I(0) * (K+1)^(t / 1day)

или в дискретном случае I(n) = I(0) * (K+1)^n
где n - номер дня.

Теперь усложним задачу, учтём что по мере роста числа зараженных падает доля здоровых среди контактов каждого зараженного. Получает такое диф.уравнение:

dI/dt = I * (1 - I) * const

Решение этого уравнения (не буду писать само решение, это длинно, напишу ответ):

I(t) / [1 - I(t)] = const * exp(t * const)

Обозначим P(t) := I(t) / [1 - I(t)]
(т.е. отношение заболевших к ещё не заболевшим.)

Получаем:
P(n) = P(0) * (K+1)^n

(Б)
Здесь уже нужно уточнение. Считается ли что каждый больной выздоравливает ровно через 14 дней, или же это среднее значение? Если второе, то по какому распределению? Можно ли считать что по распределению Пуассона, т.е. по типу "радиоактивного распада"?
 
Считается ли что каждый больной выздоравливает ровно через 14 дней, или же это среднее значение?
Не знаю, как то не думал об этом. Это разве что-то меняет в качественном анализе?
Я бы просто взял дифур типа: i' = Tr * i * (1 - i) - Rr * i;

Здесь Rr это просто некий параметр такой же как и Tr, который нужно подгонять под реальность.
 
Не знаю, как то не думал об этом. Это разве что-то меняет в качественном анализе?
Я бы просто взял дифур типа: i' = Tr * i * (1 - i) - Rr * i;

Здесь Rr это просто некий параметр такой же как и Tr, который нужно подгонять под реальность.
Насчёт параметра реальности!
Жена кашляет ... уже с месяц - доктор сказал аллергия , дал таблетки ... если не пройдёт приходи... через две недели вроде прошло... побегала с собакой и началось снова.. доктор даёт направление на рентген, но рентгелогические компании принимать отказываются!так как кашляет ! Звоним доктору , что делать - хммм, да, только короновирусные центры сделают рентген, но лучше не идите, там точно подхватите...
 
Последнее редактирование:
Решение этого уравнения (не буду писать само решение, это длинно, напишу ответ):

I(t) / [1 - I(t)] = const * exp(t * const)
@valdo,
Совершенно верно. Соответственно, отбросив константу получаем:
I(t) = 1 / (1 + e^-x) = e^x / (1 + e^x);

Легко проверить, что это верное решение продифференцировав:
I'(t) = e^x / ((1 + e^x)^2) = I(t) * (1 - I(t)) = I(t) * I(-t);
А значит I'(t) = I'(-t), т.е. производная является четной функцией.
А это в свою очередь означает, что максимальный прирост достигается ровно посередине, т.е. когда половина населения уже заражена, а другая половина еще нет.
 

captain

Зачетный Пургомет
Может кто-то видел. Получил на телефон из Германии такой фокус. Открывается, говорит "щас ты поверишь в волшебство" и предлагает выбрать из 6 карт. Мысленно выбираешь карту. Потом показывает 5 остальных карт. Всегда угадывает. Что за х-ня? Может в том и дело, что 5 остальных?
 
Сверху Снизу