• Zero tolerance mode in effect!

Задачи, головоломки, загадки

И ответ неинтуитивный на первый взгляд.
Тебя на мякине не проведешь. :)

Интуиция некурильщика должна работать как-то так:

Сначала более простая задача: длина последовательности бросков заканчивающаяся шестеркой.
Понятно, что на каждом шаге вероятность обрыва цепочки не зависит от предыдущих шагов и всегда равна p =1/6. И интуиция здорового человека нам говорит, что в этом случае ожидаемое количество бросков до шестерки включая последний бросок равна 1/p = 6.

Теперь к нашей задаче. Мы хотим посчитать длину последовательности из двоек и четверок. Такая последовательность оборвется когда выпадет не двойка или четверка, т.е. когда выпадет 1 или 3 или 5 или 6.
Значит вероятность обрыва последовательности равна p = 4/6. Значит ожидаемая длина такой последовательности включая последний обрывающий бросок будет 1/p = 6/4 = 1.5
Вуаля.
 
Тебя на мякине не проведешь. :)

Интуиция некурильщика должна работать как-то так:

Сначала более простая задача: длина последовательности бросков заканчивающаяся шестеркой.
Понятно, что на каждом шаге вероятность обрыва цепочки не зависит от предыдущих шагов и всегда равна p =1/6. И интуиция здорового человека нам говорит, что в этом случае ожидаемое количество бросков до шестерки включая последний бросок равна 1/p = 6.

Теперь к нашей задаче. Мы хотим посчитать длину последовательности из двоек и четверок. Такая последовательность оборвется когда выпадет не двойка или четверка, т.е. когда выпадет 1 или 3 или 5 или 6.
Значит вероятность обрыва последовательности равна p = 4/6. Значит ожидаемая длина такой последовательности включая последний обрывающий бросок будет 1/p = 6/4 = 1.5
Вуаля.

Интересный ход мыслей, и более простое решение.
Здесь надо (на уровне интуиции) убедить себя что неважно как именно обрывается последовательнось: шестёркой или нечётным числом, по сути вероятности этих вариантов имеют постоянное соотношение, независящее от истории.
 
Здесь надо (на уровне интуиции) убедить себя что неважно как именно обрывается последовательнось: шестёркой или нечётным числом
Это несложно. Можно забыть про нечетные и думать о том какова вероятность продолжения череды бросков. Она очевидно равна q = 2/6, значит вероятность непродолжения равна 1 - q = 4/6
 
Строго говоря здесь даже физики немного, ускорение Кориолиса - это чистая математика, неинтуитивное слагаемое при смене системы координант.

Ладно, я понял, народ подкован. Давайте попробуем другую задачу.

Представим себе что на плоской крыше лежит моток верёвки, конец которого спущен на землю. Верёвка, естественно, под своим весом постепенно соскальзывает на землю, и надо найти скорость её движения. Разность высот равна H. Верёвка однородная, с плотностью Po (кг/м), "идеальная".

Есть два способа решения, которые дают разные ответы.

1. Рассмотрим отрезок верёвки в воздухе. На него действует сила тяжести равная Po*g*H, за время dt эта сила придаст этой части верёвки импульс Po*g*H * dt.
С другой стороны если верёвки движется со скоростью V, то за время dt оголится новый отрезок верёвки массой Po*V*dt, и чтобы разогнать его до скорости верёвки нужен импульс Po*V^2*dt

Итого: Po*g*H * dt = Po*V^2*dt. g*H = V^2.
V = [g*H]^(1/2)

2. Разность высот H даёт потенциальную энергию, в процессе соскальзывания верёвка разгоняется и преобретает кинетическую энергию, которая затем теряется при ударе о землю (переходит в тепло). Таким образом каждый элемент верёвки непосредственно перед контактом с землёй должен иметь кинетическую энергию равную изначально его потенциальной. Таким образом:

m * V^2 /2 = m*g*H.
V = [2*g*H]^(1/2)

А теперь внимание вопрос: почему мы получили разные ответы? Какой вариант решения верный (если таковые есть)?

Бонус: аналогичная задача, только вместо верёвки у нас бочка наполненная водой до верху, на расстоянии H ниже поверхности в бочке дырка, откуда вода, естественно, вытекает струёй. Направление струи изначально горизонтальное (форма отверстия горизонтальна). Найти начальную скорость струи.
Там также можно рассчитать скорость из соображений энергии, а также из принципа разности давления и импульса, и получается аналогичная разница в ответах.

Вопрос: какое решение верно в этом случае?
Первое решение неверно в корне.
Даже если предположить что используется безынерционная катушка, остается масса ошибок:
1. Масса веревки не сосредоточена в самой верхней части, а равномерно распределена по всей длине, поэтому в начале движения сила будет Po*g*H/2
2. Непонятно какая часть веревки рассматривается.
Если только та, что изначально висела, то ее центр масс (изначально Н/2) будет постоянно приближаться к земле, то есть сила не постоянная, поэтому утверждение что импульс будет Po*g*H * dt неверно.
Если же имеется в виду постояно изменяющийся кусок веревки, который висит, то высоту действительно можно оставить неизменной, но тогда разгон новогу куска веревки нужно учитывать в вычислении импульса, а не считать отдельно.
3. Наконец откуда следует что импульс свисающего куска веревки равен импульсу нового куска разогнанной веревки? Более того, эти импульсы не равны, а потеря импульса при падении на землю вобще не учитывается.

В общем это навороченная загадка уровня "Куда пропали 10 рублей?".
 
Первое решение неверно в корне.
Даже если предположить что используется безынерционная катушка, остается масса ошибок:
1. Масса веревки не сосредоточена в самой верхней части, а равномерно распределена по всей длине, поэтому в начале движения сила будет Po*g*H/2
2. Непонятно какая часть веревки рассматривается.
Если только та, что изначально висела, то ее центр масс (изначально Н/2) будет постоянно приближаться к земле, то есть сила не постоянная, поэтому утверждение что импульс будет Po*g*H * dt неверно.
Если же имеется в виду постояно изменяющийся кусок веревки, который висит, то высоту действительно можно оставить неизменной, но тогда разгон новогу куска веревки нужно учитывать в вычислении импульса, а не считать отдельно.
3. Наконец откуда следует что импульс свисающего куска веревки равен импульсу нового куска разогнанной веревки? Более того, эти импульсы не равны, а потеря импульса при падении на землю вобще не учитывается.

В общем это навороченная загадка уровня "Куда пропали 10 рублей?".

1. Начало движения, т.е. "как всё начинается" мы вообще не рассматриваем. Мы рассматриваем квази-статический процесс когда верёвка *уже* достигла постоянной скорости соскальзывания.

2+3. Рассматривается "постояно изменяющийся кусок веревки".

... разгон новогу куска веревки нужно учитывать в вычислении импульса, а не считать отдельно ...
Наконец откуда следует что импульс свисающего куска веревки равен импульсу нового куска разогнанной веревки? Более того, эти импульсы не равны, а потеря импульса при падении на землю вобще не учитывается.

Именно это и делается. На момент времени t есть отрезок верёвки в воздухе с определённым импульсом. Через время dt происходит следующее:
  1. Нижний отрезок падает на землю, его импульс теряется
  2. Верхний отрезок увлекается, и разгоняется до скорости верёвки в данный момент времени. Т.е. приобретает определённый импульс
  3. Сила тяжести действует на весь отрезок верёвки в воздухе, следовательно за время dt придаёт ему определённый импульс.
Так что всё что ты написал как раз и учитывается. И, предполагая квази-статический процесс, получаем равенство из которого и вычисляется скорость. Т.е. та скорость при которой ускорения уже не происходит.
 
1. Начало движения, т.е. "как всё начинается" мы вообще не рассматриваем. Мы рассматриваем квази-статический процесс когда верёвка *уже* достигла постоянной скорости соскальзывания.
Из чего следует что скорость постоянна?
Нижний отрезок падает на землю, его импульс теряется
Это не учитывается в уравнении
 
Из чего следует что скорость постоянна?

Строго говоря скорость непостоянна, изначально она равна нулю, затем со временем асимптотически стремится к маскимальному значению.
Можно показать (на основе этого решения) что если скорость меньше то будет разгон, если больше то будет замедление.

Йето не учитывается в уравнении

Учитывается. Вот то что было, вот то что стало. Если через время dt импульс упавшей части верёвки потерялся, то его вклад в общий импулсь равен нулю.
 

Класс! Я не знал про это видео.

Но в нашей задаче мы оговорили что верёвка "идеальная", т.е. никак не сопротивляется перпендикулярной деформации. А здесь эфект именно из-за того что эта цепочка не даёт изгибать себя больше определённого угла для каждой пары звеньев.
 
Строго говоря скорость непостоянна, изначально она равна нулю, затем со временем асимптотически стремится к маскимальному значению.
Можно показать (на основе этого решения) что если скорость меньше то будет разгон, если больше то будет замедление.
Даже так? И что же ограничит скорость, чтоб она не стала больше "максимальной"?
Учитывается. Вот то что было, вот то что стало. Если через время dt импульс упавшей части верёвки потерялся, то его вклад в общий импулсь равен нулю.
То есть ты считаешь если импульс упал с какого либо положительного значения до нуля, то влияние такого изменения на общий импульс равно нулю?
 
даже не догадываюсь какая фантазия приходит тебе на ум

Давай попробуем такую аналогию. Свободное падение, но не в вакууме а в воздухе. Ускорение свободного падения постоянно, а сопротивление воздуха - нет, зависит от скорости.
Поначалу, пока скорость низкая, движение практически равноускоренное, затем по мере набора скорости растёт сопротивление, и ускорение замедляется, пока практически полностью не компенсирует ускорение свободного падения.

Вопрос как именно найти эту скорость (предположим что зависимость сопротивления от скорости известна).
И постарайся ответить на вопрос "что же ограничит скорость, чтоб она не стала больше максимальной"?
 
Давай попробуем такую аналогию. Свободное падение, но не в вакууме а в воздухе. Ускорение свободного падения постоянно, а сопротивление воздуха - нет, зависит от скорости.
Поначалу, пока скорость низкая, движение практически равноускоренное, затем по мере набора скорости растёт сопротивление, и ускорение замедляется, пока практически полностью не компенсирует ускорение свободного падения.

Вопрос как именно найти эту скорость (предположим что зависимость сопротивления от скорости известна).
И постарайся ответить на вопрос "что же ограничит скорость, чтоб она не стала больше максимальной"?
То есть в условие надо добавить сопротивление воздуха?
 
То есть в условие надо добавить сопротивление воздуха?

Я всё понимаю, но зачем эту ветку засирать?
Если ты реально не понимаешь то что я написал, что такое асимптотическая сходимость, квази-статический процесс, дифференциальное исчисление, то походу это задача не твоего уровня. Без обид.

А если это, мол, тонкий юмор, то это тупо и несмешно.
 
1. Начало движения, т.е. "как всё начинается" мы вообще не рассматриваем. Мы рассматриваем квази-статический процесс когда верёвка *уже* достигла постоянной скорости соскальзывания.
Кстати, если мы рассматриваем процесс когда веревка уже движется, то оба решения неверны - начальная скорость не учитывается ни в одном из них.
Я всё понимаю, но зачем эту ветку засирать?
Если ты реально не понимаешь то что я написал, что такое асимптотическая сходимость, квази-статический процесс, дифференциальное исчисление, то походу это задача не твоего уровня. Без обид.
Хочешь про уровень поговорить? Ну давай поговорим.
Для того, чтоб возникла "асимптотическая сходимость" (о какие красивые слова знаешь), прежде всего требуется эта самая асимптота. А откуда ей взяться если, у тебя в условии единственная сила - это сила тяжести? Или второй закон Ньютона для твоего уровня это непонятная магия и ты его локально отменил?
Предупреждаю сразу, про физику Эйнштейна можешь даже не заикаться - твои уравнения не имеют к ней никакого отношения.
"квази-статический процесс" звучит еще красивее, почти как "точка сгущения функции". Только не имеет никакого отношения к задаче.
"дифференциальное исчисление" ты нигде не использовал, но попытку поразить меня своим знанием названий разделов математики можно засчитать.

А вот теперь обьясни мне, зачем приплетать эти, безусловно красивые, но не имеющие никакого отношения к задаче, названия? Хочешь показаться умнее? Извини, получилось наоборот.
А если это, мол, тонкий юмор, то это тупо и несмешно.
Нет, это суровая правда жизни.
 
Ок, последняя попытка перед игнором.

Кстати, если мы рассматриваем процесс когда веревка уже движется, то оба решения неверны - начальная скорость не учитывается ни в одном из них.

Тот факт что какие-то начальные данные не используются не значит что решение неверно. Я также не учитывал цвет верёвки, ну и что?

Начальную скорость надо было бы использовать если бы в решении могло возникнуть несколько разных устойчивых процессов. Т.е. если при решении уравнения квазистатического процесса получается несколько решений, тогда - да, надо рассмотреть начальные условия и сам процесс сходимости. Может вообще равновесие невозможно, и вместо этого какие-то биения. Но если решение однозначно даёт один ответ, то значит начальные условия неважны для вычисления предела скорости.

Я утверждаю что в данной задаче начальная скорость не имеет значения, можно как угодно сильно дёрнуть за верёвку, скорость её движения будет стремиться к одному пределу.

Для того, чтоб возникла "асимптотическая сходимость" (о какие красивые слова знаешь), прежде всего требуется эта самая асимптота. А откуда ей взяться если, у тебя в условии единственная сила - это сила тяжести? Или второй закон Ньютона для твоего уровня это непонятная магия и ты его локально отменил?

Сила тяжести - единственная сила в задаче? Да неужели? А как же сила натяжения, нормальная сила поверхностей?
А ничего что мы рассматриваем скорость движения ограниченного участка верёвки, постоянно меняющегося т.е. это незамкнутая система?
Поскольку ты, судя по всему, не понимаешь о чём речь, я объясню все эти заумные в твоём понимании слова.

Законы Ньютона описывают взаимодействие точечных масс. Можно любое сложное движение описать через взаимодействие точечных масс, с соответствующими силами и ускорениями.
Конкретно в этой задаче можно представить верёвку как совокупность точечных масс. Но если рассматривать закрытую систему, т.е. обязательно всю верёвку, то придётся отказаться от "скорости верёвки", т.к. разные её части движутся с разными скоростями (те что лежат уже/ещё имеют нулевую скорость).

Но есть также другие способы решения. Можно рассматривать незамкнутую систему. Т.е. сказать что мы в каждый момент времени рассматриваем лишь часть системы. В этом случае надо помнить что некоторые законы сохранения (массы, энергии, импульса и т.д.) неприменимы. Надо внимательно рассмотреть что в системы заходит и что выходит. Именно в этом и заключается моё решение.

Предупреждаю сразу, про физику Эйнштейна можешь даже не заикаться - твои уравнения не имеют к ней никакого отношения.

Разумеется это задача на классическую физику. Если бы здесь была "физика Эйнштейна", то была бы соответствующая физическая величина - скорость света. А если бы мы рассматривали квантовые эфекты то наверняка была бы постоянная Планка.

"квази-статический процесс" звучит еще красивее, почти как "точка сгущения функции". Только не имеет никакого отношения к задаче."дифференциальное исчисление" ты нигде не использовал, но попытку поразить меня своим знанием названий разделов математики можно засчитать.

Хорошо, если я скажу "динамическое равновесие" то станет понятнее? Движущаяся верёвка (а также текующая река, водопад и т.д.) - это процесс с одной стороны динамический, т.к. есть движение, с другой стороны какбЭ ничего не меняется.
Так понятнее?

А что такое по-твоему отрезок времени dt и почему мы его называем инфинитесимальным (ещё одно красивое слово, можешь запомнить). А почему в решении мы учитываем что за время dt оголяется новый отрезок верёвки который должен получить определённый импульс, но при этом не учитываем что на него в это время действует сила тяжести?
(Подсказка: это эфект второго порядка. Можешь запомнить ещё одну умную фразу).

А вот теперь обьясни мне, зачем приплетать эти, безусловно красивые, но не имеющие никакого отношения к задаче, названия? Хочешь показаться умнее? Извини, получилось наоборот.

Мне пришлось потому что ты стал придираться непонятно к чему. Обычно я такие слова не вставляю без надобности, потому что и так понятно о чём речь. Чесслово, я не понимаю что непонятного в том что верёвка соскальзывает, всякий раз увлекается новый её отрезок который надо разогнать, а тот что падает на землю - уже неинтересен. По-моему это вполне понятный процесс, для которого должно хватить школьных знания.
 
Ок, последняя попытка перед игнором.
Тот факт что какие-то начальные данные не используются не значит что решение неверно. Я также не учитывал цвет верёвки, ну и что?
Дальше читать даже и не стал, Если ты считаешь, что при вычислении скорости падения веревки ее цвет имеет такое же значение, как и начальная скорость, то тратить время на твои опусы и чтото обьяснять бесполезно.
Судя по этому, в игноре у тебя только адекватные люди и мне будет там уютно, так что не тяни.
 
Блин, еще не хватало срача тут...

Если есть возражения/претензии, их желательно выразить в форме уравнений или формальных рассуждений, а тон последних постов оставьте для тем про Россию/Украину.
 
У меня в игноре как раз пока никого нет, даже ольгинских. Но именно в этой ветке не ожидаешь срача, и нет никакого желания спорить на таком уровне.
 
Назад
Сверху Снизу