Задачи, головоломки, загадки

Делов то. Берешь бумагу, одна штука. Карандаш, транспортир. Рисуешь прямого змея с углами в 60 и 150 градусов, а потом пририсовываешь к нему кривой квадрат. Поворачиваешь бумагу, чтобы квадрат стал прямым и вуаля.
 
Я выше написал, что делать, если он сидит криво.
Ты это имеешь в виду?
Если через вершины "змея" провести прямые, параллельные его диагоналям, то получим G посередине. Естественно, надо доказать, что в результате получится квадрат.
Вроде уже слова все правильные, но все еще в неправильном порядке.:)
 
Ок. Малость подумав, можно отказаться от идеи с параллельными линиями.
1. Докажем, что треугольник DEG - равносторонний. Для этого из точек B и E опустим перпендикуляры BK и EI на противолежащие стороны квадрата (FH и AE соответственно). Получившиеся прямоугольные треугольники BKG и DEI равны, т.к. равны их длинные катеты (равные стороне квадрата) и углы между этими катетами и гипотенузой как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Отсюда получаем равенство гипотенуз BG и DE, т.е. DE = BG = GE = DG и, следовательно, угол DGE равен 360 гр.
2. Т.к. диагональ BG дельтоида является биссектрисой угла DGE(а также угла х), то угол DGB равен 30 гр.
3. Т.к. треугольник DGB - равнобедренный, то углы GDB и DBG равны, и х равен их сумме, следовательно х = 180-30 = 150.
 
Ок. Малость подумав, можно отказаться от идеи с параллельными линиями.
1. Докажем, что треугольник DEG - равносторонний. Для этого из точек B и E опустим перпендикуляры BK и EI на противолежащие стороны квадрата (FH и AE соответственно). Получившиеся прямоугольные треугольники BKG и DEI равны, т.к. равны их длинные катеты (равные стороне квадрата) и углы между этими катетами и гипотенузой как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Отсюда получаем равенство гипотенуз BG и DE, т.е. DE = BG = GE = DG и, следовательно, угол DGE равен 360 гр.
2. Т.к. диагональ BG дельтоида является биссектрисой угла DGE(а также угла х), то угол DGB равен 30 гр.
3. Т.к. треугольник DGB - равнобедренный, то углы GDB и DBG равны, и х равен их сумме, следовательно х = 180-30 = 150.
Да! Все верно. Немного скомкано выделенное, но это уже действительно дело техники. Поздравляю с переходом на второй уровень в новозеландской школе.
 
Ладно, раз все такие умные, вот вам самая сложная (?) задача из соревнования по математике для студентов колледжей 92-го года.
Соревнования имени Вильяма Путнама проводятся ежегодно в Северной Америке в два тура. В каждом туре студентам предлагается решить 6 задач возрастающей сложности.
Эта задача поставлена под номером 6.

http://kskedlaya.org/putnam-archive/

4 точки выбраны случайным образом на поверхности сферы. Какова вероятность того, что центр сферы лежит внутри тетраэдра вершинами которого являются наши 4 точки?
(Каждая точка выбирается независимо со случайным равномерным распределением по поверхности сферы).
 
4 точки выбраны случайным образом на поверхности сферы. Какова вероятность того, что центр сферы лежит внутри тетраэдра вершинами которого являются наши 4 точки?
(Каждая точка выбирается независимо со случайным равномерным распределением по поверхности сферы).
Да, задачка интересная.
Но попробуем решить её не честно, а схалявить.

Пойдём от простого к сложному:
1. Возьмём самый простой, одномерный случай. Т.е. на отрезке бросаем две точки, нужно определить заденет ли полученный отрезок середину. Тут всё просто, ответ 0.5.
2. Теперь двумерный случай, треугольник вписанный в окружность. Тут уже децл посложнее, но тоже вполне решаемо, ответ 0.25.
3. Что такое 0.5 - это 0.5^1, 0.25 - это 0.5^2. Может тогда для трёхмерного случая будет 0.5^3 ? :)
 
Да, задачка интересная.
Но попробуем решить её не честно, а схалявить.

Пойдём от простого к сложному:
1. Возьмём самый простой, одномерный случай. Т.е. на отрезке бросаем две точки, нужно определить заденет ли полученный отрезок середину. Тут всё просто, ответ 0.5.
2. Теперь двумерный случай, треугольник вписанный в окружность. Тут уже децл посложнее, но тоже вполне решаемо, ответ 0.25.
3. Что такое 0.5 - это 0.5^1, 0.25 - это 0.5^2. Может тогда для трёхмерного случая будет 0.5^3 ? :)
:muscle::beer: У тебя отлично голова варит и хорошая интуиция. А теперь без халявы? ;)
 
Напоминаю врпрос:
Продолжим на новом месте.
Из личного опыта - так сказать, суперновейшая история.

Не выдам военной тайны, если упомяну здесь одну зраильскую учебную часть - инфа в сети и так есть, аж с фотками: http://mesayaat.altervista.org/maat 2004/video/video.html
В этой части резервисты проводят тактические учения друг против друга. Однако, экономии ради, вместо настоящей бронетехники там используют джипы, на которые навешена специальная форма из легкого и прочного материала, придающая машине внешний облик танка или бронетранспортера.

И так, лет 10 тому назад, один мой сослуживец при погрузке в такую машину притащил с собой матрац. Неопытный водитель машины спросил о назначении сей амуниции. Резервист ответил намеренно неверно, в результате чего отправился в военную тюрьму. Внимание, два вопроса (кто в курсе - молчите):
1) Для чего, на самом деле, резервисту понадобился матрац на этих учениях?
2) За что наш герой загремел на "губу"?
Это я в другой ветке инициировал серию вопросов на сообразительность и с военно-исторической тематикой. Позже их перенесли сюда. Вопросы забавные (на мой взгляд) и требуют не столько знаний, сколько сообразительности.

Ответ на первый мой вопрос тут: зачем понадобился матрац?
Дело в том, что, в отличие от настоящего тяжелого танка на гусеничном ходу, изображающий его легкий колесный джип подвержен чрезмерной тряске. В то же время, командир машины должен стоять наверху в открытом люке. Представьте себе, каким испытаниям подвергаются ребра этого командира, когда такая машина несется в атаку по бездорожью - по кочкам и бочкам!
В последующие годы этот командирский псевдолюк снабдили обивкой, хоть и она не шибко облегчала жизнь. А до того опытные командиры обкладывали люк обычным матрацем.

Второй вопрос - почему командира машины отправили на губу оставляю пока без ответа. Даю вам еще один шанс.
:)
 
Последнее редактирование:
4 точки выбраны случайным образом на поверхности сферы. Какова вероятность того, что центр сферы лежит внутри тетраэдра вершинами которого являются наши 4 точки?
(Каждая точка выбирается независимо со случайным равномерным распределением по поверхности сферы).
Есть сфера с длиной экватора 2.
Первая точка попадает на полюс.
Втоая на экватор с расстоянием 0.5 от полюса.
Третья тоже на экваторе равноудаленная от первой и второй. Первые 3 образуют треугольник.
Если четвертая попадает в треугольник, который симметричен, относительно центра сферы, тругольнику из первых 3х точек, то и центр сферы лежит внутри тетраэдра.
Площадь сферы = 4/пи
Площадь треугольника = 1/2пи
т.е. вероятность 1/8
 
Если четвертая попадает в треугольник, которыщй симметричен, относительно центра сферы, тругольнику из первых 3х точек, то и центр сферы лежит внутри тетраэдра.
Вот это годное наблюдение.
Осталсь совсем "мелочь" - доказать, что площадь треугольника на поверхности сферы образованного первыми тремя случайными точками, равна 1/8 поверности сферы.
 
Вот это годное наблюдение.
Осталсь совсем "мелочь" - доказать, что площадь треугольника на поверхности сферы образованного первыми тремя случайными точками, равна 1/8 поверности сферы.
Доказать что средняя площадь треугольника образованного первыми тремя случайными точками = 1/8?